大学入試数学の勉強法 三角関数を理解するための必須ポイント

1 三角関数が難しくなってしまっている2つの主な理由

数Ⅱの三角関数は苦手とする受験生が多く、差がつきやすい分野です。

三角関数を苦手に思う大きな原因は、主に2つ考えられます。

  1. cosθ, sinθ の定義を有効に活用できていない
  2. (同じく数Ⅱで学ぶ)「図形と式」とのつながりが理解・活用できていない

この2つの理由が主なものと言えます。

次から、上記のそれぞれについて説明していきます。

2 三角関数の定義をしっかりと理解する

三角関数の定義として、

θを一般角として、(cosθ, sinθ)は単位円 x2 + y2 = 1 上の点の座標(x, y)である」

という事実を定義として徹底しなければなりません。

本来はこの定義が三角関数の応用問題では大活躍するはずなのです。

ところが、教科書では r を任意半径として、円 x2 + y2 = r2 を考え、cosθ, sinθ はあくまで比の形で

cosθ, sinθ)= \((\frac{\displaystyle x}{\displaystyle r}, \frac{\displaystyle y}{\displaystyle r})\)

としているので定義がぼやけたものになってしまっています。

もちろん半径 r は任意の正の数ですから r = 1 の場合を定義としても良いのですが、この事実は教科書ではあまり強調されずに「とくに」扱いのままです。

そのため、定義の重要性・有用性が十分に理解されていません。

その結果、定義に戻って考えれば瞬殺とも言える、三角関数の方程式・不等式の問題に対して回りくどい「模範解答」がはびこっています。

3 練習問題

例えば、以下のような三角関数の不等式を解いてみましょう。

(1)〜(3)とも 0 ≦ θ ≦ 2π において θ について解け、という問題です。

(1)  sinθ ≧ \(\frac{1}{2}\)

(2) sinθ + cosθ – 1 ≧ 0

(3) (sinθ + cosθ – 1) (sinθ – \(\sqrt{3}\)cosθ + 1) ≧ 0

 

(解)

「三角関数の不等式を解いて θ の範囲を求める」ということは、

「単位円と領域の共通部分に対応する動径の角 θ の範囲を求める」

ということですから、(1)、 (2) は簡単です。

(1)

 

IMG_0858 (1)

上図から、\(\frac{π}{6}\) ≦ θ ≦ \(\frac{5}{6}π\) です。

 

(2)

IMG_0859

上図から、0 ≦ θ ≦ \(\frac{π}{2}\) です。

(3)についてはどうでしょうか。当然、同じように解けます。

ポイントは (cosθ, sinθ) = (x, y) として、

積の形で表された不等式の領域 (x + y – 1) (y – \(\sqrt{3}\)x + 1) ≧ 0 を、傾き・角度を考えて正確に図示することです。

(※ここが、教科書レベルでは要求されていない重要ポイントです)

三角関数の合成やその他の公式等を用いた計算は一切不要です。

「因数分解」されていれば、方程式・不等式は「すでに解けている」のです。あとは、上記を踏まえて視覚化するだけです。

IMG_0861

不等式 (x + y – 1) (y – \(\sqrt{3}\)x + 1) ≧ 0 の表す領域は上図の斜線部ですから、あとは青線で囲まれた二等辺三角形の角に注目すれば、

求める解は、\(\frac{π}{6}\) ≦ θ ≦ \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3}{2}π\) ≦ θ ≦ 2π となります。

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